Docente

prof. Elio CABIB

Crediti

6 CFU

Obiettivi formativi specifici

A partire da alcuni problemi classici (e storici) del calcolo delle variazioni, si affrontano questioni legate alla scelta degli spazi funzionali appropriati e alla formulazione dei problemi variazionali in condizioni di semicontinuità e coercività. Si considerano in particolare problemi di minimo derivanti da equazioni e sistemi alle derivate parziali ellittiche di interesse dell’ingegneria civile, considerando eventualmente anche fenomeni di omogeneizzazione e problemi di disegno ottimale, e i relativi metodi di risoluzione numerica agli elementi finiti.

Competenze acquisite

- Capacità nel costruire, riconoscere e formulare problemi variazionali legati a problemi di minimo costo e di equilibrio
- Acquisizione di tecniche risolutive passando all'equazione di Eulero e ai principi di conservazione ad essa legati
- Capacità nel costruire stime e approssimazioni dei punti di minimo.

Programma

Esempi: Analisi di vari problemi concreti del CdV, funzionali costo, disuguaglianze isoperimetriche, convessità e disuguaglianza di Jensen, applicazioni al calcolo del minimo. (8 ore)
Spazi di funzioni:  Ambientazione dei problemi variazionali in vari spazi di funzioni, minimi deboli e forti, estremanti spezzate, spazi di Sobolev, funzioni assolutamente continue, funzioni a variazione limitata e soluzioni di Goldshmidt, fenomeno di Lavrentiev. (12 ore)
Equazioni di Eulero:  Variazione prima e seconda, relazione tra i problemi variazionali e le equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali di tipo ellittico con condizioni al bordo, principi variazionali in meccanica, integrali primi. Brevi cenni sulle PDE lineari del II ordine. (12 ore)
Metodi diretti:  Semicontinuità e coercività, condizioni necessarie e condizioni sufficienti, convergenza debole, convessità e rilassamento, quasiconvessità, convessità di rango 1 e policonvessità. (12 ore)
Applicazioni del CdV:  Omogeneizzazione e G-convergenza e studio di alcuni problemi di controllo e disegno ottimale, il problema della G-chiusura.  La Γ-convergenza e applicazioni, in particolare ai problemi di riduzione dimensionale per le strutture elastiche. (16 ore)

Bibliografia

- Dispense del docente e testi verranno consigliati durante il corso

Ulteriore materiale didattico o informazioni reperibili al sito http://sole.dimi.uniud.it/~elio.cabib/