Docente

prof. Elio CABIB

Crediti

12 CFU

Obiettivi formativi specifici

Perfezionare la capacità di uso delle tecniche fondamentali dell'analisi matematica in una variabile. Approfondire la conoscenza dei fondamenti teorici dell'analisi matematica. Fornire le nozioni e le tecniche necessarie allo studio dei corsi di fisica e di meccanica.

Competenze acquisite

- Apprendimento e comprensione dei concetti fondamentali dell'Analisi Matematica;
- maturità nel ragionamento, consapevolezza e disinvoltura nel calcolo, nella formulazione e nella risoluzione dei problemi
- acquisizione di una struttura mentale razionale e scientifica, critica e creativa, che sia capace di modellizzare situazioni e fenomeni col dovuto rigore;
- acquisizione del concetto di limite e di continuità, uso corretto dei passaggi al limite sulle funzioni di una variabile, successioni e serie;
- capacità di fornire stime degli ordini di infinitesimo e di infinito con la formula di Taylor, per i limiti, la convergenza delle serie e degli integrali;
- saper affrontare correttamente i problemi di ottimizzazione per le funzioni di una variabile;
- capacità di descrivere e di rappresentare graficamente le proprietà qualitative delle funzioni di una variabile;
- acquisizione del concetto di integrale, delle sue proprietà e apprendimento dei metodi di calcolo;
- padronanza nelle tecniche risolutive delle equazioni differenziali ordinarie.

Programma

Logica e teoria degli insiemi: Proposizioni e predicati, connettivi logici e tabelle di verità, operazioni insiemistiche e analogia coi connettivi logici. Prodotto cartesiano, relazioni, funzioni e grafici (10 ore)
I numeri reali: Presentazione assiomatica delle operazioni, ordinamento, completezza e conseguenze. Estremi inferiore e superiore, valore assoluto e metrica, insiemi limitati, intervalli (10 ore)
Insiemi numerici e calcolo combinatorio: I naturali, il principio d'induzione, fattoriale, coefficienti binomiali, formula di Newton, calcolo combinatorio. Insiemi infiniti, gli interi, i razionali, il postulato di Archimede, densità (10 ore)
I numeri complessi: Strutture algebrica e metrica, coniugato, modulo e argomento, forma cartesiana e polare, formula di De Moivre, radici, polinomi e funzioni di variabile complessa di uso comune (10 ore)
Funzioni di una variabile: Le funzioni elementari, estremi inferiore e superiore, massimi e minimi, funzioni limitate, monotone, pari, dispari, periodiche, iniettive, surgettive e bigettive, inversa, convesse, lipschitziane, hölderiane, grafici (10 ore)
Successioni: Esempi, proprietà generali dei limiti, sottosuccessioni, proprietà algebriche e legate all'ordinamento, monotonia e confronto, successioni di Cauchy, Teorema di Bolzano-Weierstraß, punti limite, successioni negli spazi metrici,intorni, insiemi aperti e chiusi, completezza e compattezza (10 ore)
Serie numeriche: Esempi, calcolo della somma ove possibile, criteri di convergenza, convergenza assoluta, il criterio di Leibnitz e il criterio di Abel-Dirichlet, serie di potenze reali e complesse e il loro comportamento nel cerchio e sul bordo, il Lemma di Abel (10 ore)
Limiti di funzioni di una variabile: Definizioni, teoremi di passaggio al limite, teoremi di confronto, limiti notevoli, esistenza del limite per le funzioni monotone, uso delle successioni, asintoti, confronto di infiniti e infinitesimi, sviluppi locali e applicazioni (10 ore)
Funzioni continue: Proprietà, relazioni con la monotonia e la convessità, funzioni continue su un intervallo, teorema degli zeri e continuità dell'inversa, funzioni continue su un compatto, teorema di Weierstrass, uniforme continuità (10 ore)
Calcolo differenziale: Derivata e differenziale, applicazioni, regole, derivate successive, massimi e minimi relativi, funzioni derivabili su un intervallo, monotonia, convessità, formula di Taylor e applicazioni, serie di Taylor e funzioni analitiche reali e complesse, studio del grafico (10 ore)
Calcolo integrale: L'integrale di Riemann, proprietà, classi di funzioni integrabili, la funzione integrale, il teorema fondamentale del calcolo, primitive, regole di integrazione, integrali impropri, funzioni assolutamente integrabili (10 ore)
Equazioni differenziali ordinarie: Esempi di (sistemi di) equazioni differenziali ordinarie per la modellizzazione di fenomeni naturali, dati iniziali e dati al contorno, metodi vari di risoluzione, equazioni e sistemi lineari (10 ore)

Assistenza tutore: 40 ore

Bibliografia

- E. Cabib, Lezioni di Analisi 1, libro elettronico reperibile alla pag. http://sole.dimi.uniud.it/~elio.cabib/dispense/analisi-1/analisi1.pdf
- E. Cabib, Esercizi di Analisi 1, libro elettronico reperibile alla pag. http://sole.dimi.uniud.it/~elio.cabib/dispense/analisi-1/analisi1-esercizi.pdf
- P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi e complementi di Analisi Matematica, vol. 1,2, Liguori
- E. Giusti, Esercizi e complementi di analisi matematica, vol. 1,2, Bollati Boringhieri
- G. Buttazzo, G. Gambini, E. Santi, Esercizi di Analisi Matematica 1, Pitagora
- E. Acerbi, L. Modica, S. Spagnolo, Problemi scelti di analisi matematica I, II, Liguori

Ulteriore materiale didattico o informazioni reperibili al sito http://sole.dimi.uniud.it/~elio.cabib

Modalità d'esame

prova scritta  e orale