INFORMAZIONI SU

Analisi matematica II

Programma dell'insegnamento di Analisi matematica II - cdl in Ingegneria Civile

Docente

prof. aggr. Maria Antonietta LEPELLERE

Crediti

9 CFU

Obiettivi formativi specifici

Apprendimento dei concetti fondamentali dell'Analisi Matematica. Maturità nel ragionamento, consapevolezza e disinvoltura nel calcolo, nella formulazione e nella risoluzione dei problemi Formazione di una struttura mentale razionale e scientifica, critica e creativa, che sia capace di modellizzare situazioni e fenomeni col dovuto rigore.

Competenze acquisite

- apprendimento del concetto di limite, di derivata direzionale, gradiente e differenziale, delle loro proprietà e applicazioni;
- saper affrontare lo studio di un problema di ottimizzazione libera e vincolata per le funzioni di più variabili;
- saper affrontare le problematiche legate alle proprietà delle funzioni definite implicitamente;
- conoscenza degli integrali multipli e dei metodi di integrazione;
- conoscenza delle forme differenziali lineari, dei campi vettoriali e delle relazioni integrali e differenziali che li riguardano;
- conoscenza di varie tecniche per la trattazione delle equazioni differenziali e dei sistemi di equazioni differenziali.

Programma

Analisi Funzionale. Spazi metrici e spazi normati. Spazi metrici completi e spazi di Banach. Limiti, continuità e contrazioni. Teorema del punto fisso di Banach-Cacciopoli e applicazioni. Stabilità delle contrazioni e loro uso nel calcolo numerico. Norma di un operatore lineare. Spazi vettoriali con prodotto scalare e spazi di Hilbert. Serie trigonometriche e serie di Fourier. Convergenza puntuale delle serie di Fourier e fenomeno di Gibbs. (15 ore)

Calcolo differenziale. Funzioni reali di n variabili reali: grafici ed insiemi di livello (caso n=2). Limiti e continuità per funzioni reali di più variabili reali. Derivate parziali, funzioni derivabili. Il vettore gradiente. Relazione tra derivabilità e continuità. Derivate direzionali. Piano tangente al grafico di una funzione di due variabili reali. Funzione differenziabile. La formula del gradiente. Direzioni di massima e di minima crescita di una funzione. Derivate successive e Teorema di Schwarz. Formula di Taylor al secondo ordine. Differenziale secondo. La matrice Hessiana. Il Teorema di Fermat. Studio della natura dei punti critici. Funzioni definite implicitamente e il Teorema di Dini. Estremi vincolati. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Estremi vincolati con vincoli di disuguaglianza: Teorema di Kuhn-Tucker. Funzioni convesse. Inviluppi a uno o due parametri. (20 ore)

Equazioni Differenziali e Sistemi di Equazioni Differenziali.

Problema di Cauchy. Equazione integrale di Volterra. Teorema di esistenza ed unicità del problema di Cauchy. Teorema di Peano. Prolungabilità di soluzioni e Teorema di esistenza ed unicità e di sola esistenza in grande. Studio dei sistemi di equazioni lineari. Spazio delle soluzioni. Matrice esponenziale e sue proprietà. Uso della matrice esponenziale per risolvere i sistemi omogenei di equazioni lineari. Matrice Wronskiana e determinante Wronskiano. Sistemi non omogenei. Calcolo della soluzione particolare dell’equazione non omogenea, metodo di somiglianza e variazione delle costanti. Studio della stabilità dei sistemi autonomi. Sistemi dinamici non lineari: linearizzazione, stabilità e stabilità asintotica dei punti di equilibrio. Applicazioni alle vibrazioni meccaniche (o lineari), vibrazioni smorzate, oscillazioni smorzate, risonanza e battimenti.

Cenni sulle equazioni a derivate parziali lineari: equazione della corda vibrante, del calore, di Laplace. Metodo di separazione delle variabili. (20 ore)

Calcolo integrale. Misura e integrale di Lebesgue. Insiemi elementari e loro misura. Misurabilità di insiemi aperti limitati e chiusi limitati. Misurabilità di insiemi limitati. Funzioni misurabili e proprietà.  Integrale di Lebesgue. Teorema della Convergenza Dominata di Lebesgue. Teorema di Beppo-Levi. Teorema di riduzione di Fubini. Teorema di Radon-Nikodym e Cambiamento di Variabili. Coordinate polari nel piano, cilindriche, sferiche e toriche nello spazio. (20 ore)

Campi vettoriali Calcolo differenziale ed integrale per le curve. Lunghezza di una curva. Cambiamenti di parametrizzazione. Integrali di linea. Linee di campo. Gradiente, divergenza e rotore. Integrale di linea di un campo vettoriale. Lavoro e circuitazione. Campi conservativi e potenziali. Campi irrotazionali. Insiemi semplicemente connessi. Forme differenziale. Formula di Gauss Green nel piano. Area e integrali di superficie. Integrale di superficie di un campo vettoriale. Flusso. Teorema della divergenza. Teorema di Stokes. (15 ore)

Bibliografia

- M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli
- Materiale didattico fornito dal docente

Modalità d'esame

Prova scritta e orale