Docente

prof. aggr. Domenico FRENI

Crediti

6 CFU

Obiettivi formativi specifici

Il corso ha lo scopo di fornire la preparazione di base nella materia dell'Algebra lineare. In particolare vengono trattate le nozioni di spazio vettoriale, mappa lineare, matrice, determinante, sistema lineare, autovettori e autovalori, matrici diagonalizzabili, matrici reali simmetriche ed hermitiane, ortogonalità, canonizzazione di forme quadratiche, classificazione di coniche e quadriche.

Competenze acquisite

- Costruzione, analisi e rappresentazione di mappe lineari.
- Acquisizione degli algoritmi fondamentali della teoria delle matrici.
- Discussione e risoluzione di sistemi lineari.
- Calcolo di autovalori e autospazi relativi.
- Studio di endomorfismi e matrici diagonalizzabili.
- Ortogonalità negli spazi euclidei.
- Studio di equazioni di 2° grado in due e tre indeterminate e classificazione dei luoghi rappresentati.

Programma

Preliminari: insiemi, relazioni binarie, relazioni di equivalenza; strutture algebriche fondamentali; gruppoidi, semigruppi, monoidi, gruppi, anelli e campi; l'anello delle classi resto modulo n, il campo dei numeri complessi, il gruppo delle radici n-esime dell'unità (4 ore).
Spazi vettoriali: spazi vettoriali; lo spazio delle n-uple, lo spazio dei polinomi, lo spazio dei vettori geometrici; famiglie di vettori linearmente dipendenti e indipendenti e relativi teoremi; il sottospazio intersezione e il sottospazio somma; sottospazio generato da un sottoinsieme e teorema di caratterizzazione; insiemi di generatori e basi; principali teoremi sugli spazi vettoriali finitamente generati; teoremi sulla somma diretta basi, dimensione, coordinate (6 ore).
Matrici: definizione di matrice ad elementi su un campo K; lo spazio vettoriale delle matrici di m righe ed n colonne; prodotto righe per colonne; matrici invertibili; matrici elementari riga; ricerca dell'inversa mediante la riduzione per righe; la matrice di cambiamento di base, cambiamento di coordinate di un vettore rispetto a basi diverse; invertibilità delle matrici di cambiamento di coordinate; matrice associata ad un'applicazione lineare e relative proprietà (4 ore).
Determinante: determinante di una matrice quadrata; principali proprietà del determinante; primo e secondo teorema di Laplace (senza dimostrazione); teorema, una matrice quadrata A è invertibile se e solo se detA è diverso da zero (2 ore).
Sistemi lineari: sistemi lineari di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K; teorema di Cramer; caratteristica o rango di una matrice; teorema di Kronecker; teorema di Rouché-Capelli; sistemi lineari omogenei; discussione delle soluzioni di un sistema con parametro;  risoluzione di un sistema lineare con il metodo di Gauss-Jordan (6 ore).
Autovettori e diagonalizzazione: applicazioni lineari e principali teoremi, teorema di esistenza e unicità, teorema delle dimensioni; matrice associata ad una applicazione lineare e formule di cambiamento di base per matrici associate; autovalori, autovettori, autospazi e polinomio caratteristico di un endomorfismo e di una matrice; principali teoremi sugli autovalori e autovettori; endomorfismi e matrici diagonalizzabili, teoremi fondamentali sulla diagonalizzazione di un endomorfismo; diagonalizzabilità di una matrice simmetrica (8 ore).
Spazi vettoriali con prodotto interno: definizione di forma bilineare e di prodotto interno; spazi vettoriali euclidei; teorema di Cauchy-Schwarz; angolo di due vettori di uno spazio euclideo; insiemi di vettori ortogonali, insiemi di vettori ortonormali; basi ortonormali; teorema di Gram-Schmidt; complemento ortogonale di un sottospazio; il teorema spettrale e sue applicazioni (10 ore).
Applicazioni alla geometria: vettori geometrici; prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto; equazioni parametriche di una retta e di un piano; equazione cartesiana di un piano; engolo tra due rette, tra due piani e tra un piano e una retta; distanza tra due punti, distanza di un punto da un piano, distanza tra due rette, distanza di un punto da una retta; coniche, coniche degeneri, coniche non degeneri, riduzione alla forma canonica; cenni sulle quadriche (10 ore).
Corsi integrativi (12 ore).

Bibliografia

- Edoardo Sernesi - Geometria 1 - Programma di Matematica, Fisica, Elettronica - Bollati Boringhieri
- Dispense del corso da stampare dal sito del materiale didattico dell'Ateneo
- Domenico Freni, Jung Kyu Canci - Algebra lineare e geometria, esercizi e complementi- Pearson Education

Modalità d'esame

prova scritta e orale

Ulteriore materiale didattico o informazioni reperibili alla pagina