INFORMAZIONI SU

Modelli matematici per la finanza

Programma dell'insegnamento - Corsi di laurea magistrale in Banca e Finanza

Docente

prof. Patrizia Stucchi patrizia.stucchi@uniud.it

Crediti

9 CFU

Afferenza

Dipartimento di Scienze Economiche e Statistiche

Programma del corso

PARTE I - Modelli di gestione del portafoglio
Descrizione degli obiettivi di un investitore (privato, intermediario finanziario, gestore di portafoglio). Variabili aleatorie chiave del processo decisionale: i rendimenti azionari. Probabilità-prezzo di evento nell'impostazione definettiana. Media come prezzo di variabile aleatoria. V.a. senza prezzo: il paradosso di S. Pietroburgo.
Utilità attesa ed equivalente certo. Avversione al rischio. Indicatori di avversione. Disuguaglianza di Jensen. Criteri di decisione in ambito aleatorio.
Il problema statico dell'investitore: massimizzazione dell'utilità attesa funzione del rendimento aleatorio di portafoglio. Restrizione dell'insieme ammissibile: il criterio di Markowitz. Frontiera efficiente come vincolo di bilancio dell’investitore.
Il problema con due sole attività rischiose: determinazione della frontiera di (minima) varianza in un mercato con due sole attività: effetto del coefficiente di correlazione sulla possibilità di diversificare il rischio senza effettuare vendite allo scoperto. I due casi a perfetta correlazione.
Il problema con un'attività priva di rischio e una rischiosa: linearizzazione della frontiera.
Determinazione dell'equazione della frontiera di minima varianza in un mercato con n attività azionarie, mediante l'uso di calcolo matriciale.
Equilibrio dei mercati finanziari. La frontiera efficiente-Capital Market Line (CML). Il portafoglio di mercato. Portafogli efficienti e mercato. La Security Market Line (SML).
Legami tra CML e SML per portafogli efficienti. Il beta di portafogli.
L'Arbitrage Pricing Theory di Ross.
Il modello di Roll: minimizzazione del tracking error rispetto ad un benchmark.
La frontiera di minima varianza del tracking error (Ftev). Confronto fra frontiera classica (alla Markowitz) e Ftev.
Modello di portafoglio dinamico: massimizzazione di utilità intertemporale separabile (cenni).

PARTE II - Modelli di gestione del rischio
Definizione di rischio. Principali rischi degli intermediari finanziari: rischio di mercato, di credito, operativo e giuridico. Il rischio finanziario dell'intermediario visto come investitore. Significato di "gestione del rischio". Il rischio finanziario e l'evoluzione dei mercati finanziari. Il rischio finanziario e i requisiti minimi di capitale: evoluzione del regolamento di Basilea. Misure classiche di rischiosità delle attività finanziarie: varianza, semivarianza, MAD, covarianza e beta per attività e portafogli azionari. La duration di obbligazioni con cedola con struttura dei tassi non piatta. La duration con struttura piatta. Interpretazione della flat yield modified duration come misura di sensibilità del prezzo dell'obbligazione rispetto a variazioni del tasso di interesse. La duration di obbligazioni di puro sconto. Le obbligazioni con cedola come combinazioni di obbligazioni di puro sconto. Variazioni del prezzo dell'obbligazione con cedola in funzione di variazioni dei tassi di interesse di struttura non piatta.
Definizione di Value at Risk (VaR) in termini di perdita e di Profit & Loss.
VaR assoluto e relativo in termini di tasso di rendimento della posizione ovvero di intensità di rendimento. VaR nel caso di normalità del rendimento della posizione.
VaR di un portafoglio, con rendimento normale (approccio asset-normal). Subadditività del VaR asset-normal. Generalizzazione del VaR a posizioni con funzione di ripartizione della variazione di valore non invertibile.
Coerenza delle misure di rischio. Proprietà delle misure di rischio coerenti (ADEH).
Il Conditional VaR (CVaR) in termini di Profit & Loss. Calcolo di CVaR con riferimento ad un portafoglio di crediti (perdita con distribuzione binomiale). CVaR come unica misura coerente per distribuzioni continue. Formula di CVaR con P&L distribuita normalmente.
Metodologie di calcolo del VaR secondo l’approccio delta-normal. Posizioni in valuta estera con rendimento normale del tasso di cambio. Approssimazione lineare del rendimento di una posizione in funzione di uno o più fattori di rischio. Il caso di posizione in una azione (domestica): VaR nell'ipotesi di normalità del rendimento del mercato azionario. Il caso di posizione in azione denominata in valuta estera: VaR con normalità (congiunta) del rendimento del mercato azionario estero e del tasso di cambio. Delta-normal VaR per obbligazioni di puro sconto e obbligazioni con cedola.
VaR di opzione call europea standard su una azione utilizzando l’approssimazione delta-gamma-theta del prezzo ed il modello di Black e Scholes per la determinazione dei parametri (greeks). Il VaR dell'opzione in termini di percentili della distribuzione chi-quadrato.
Posizione lunga e corta su una call: invarianza del delta-normal VaR e differenze rispetto al delta-gamma VaR.
Il VaR di posizioni con rendimenti dotati di distribuzioni non identificabili: metodi dei momenti. Il metodo Normal-Power. Cenni sul metodo di Johnson.
Il rischio di credito: modello unifattoriale strutturale per la valutazione del rischio di credito. Probabilità di insolvenza non condizionata. Funzione di perdita di Basilea.

Bibliografia

Prima Parte
Appunti a cura del docente

Letture consigliate per approfondimenti:
J. ELTON, J. GRUBER, Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, Wiley (capitoli. 2, 3, 8, 11)

Seconda Parte
Appunti a cura del docente

Letture consigliate per approfondimenti
K. DOWD, Beyond value at risk the new science of risk management, Chichester, Wiley.
P. JORION, Value at risk. The new benchmark for controlling market risk, Chicago, Irwin.