Modelli matematici per la finanza
CORSO DI STUDIO: Corso di Laurea Magistrale in Banca e Finanza
a.a. 2015/2016
Denominazione insegnamento
Modelli Matematici per la Finanza
Models for Mathematical Finance
Lingua dell’insegnamento: Italiano
Crediti e ore di lezione: 9 CFU, 72-80 ore di lezione
Moduli: NO
Settore/i scientifico disciplinare: SECS-S/06
Docente: Patrizia Stucchi
Indirizzo email: patrizia.stucchi@uniud.it
Pagina web personale: http://people.uniud.it/page/patrizia.stucchi
Prerequisiti e propedeuticità
Prerequisiti: conoscenza dei contenuti dei corsi di Matematica Generale e di Matematica Finanziaria del primo e secondo anno della laurea triennale in Economia Aziendale (si vedano pertanto i programmi dei corsi citati).
Propedeuticità: Nessuna.
Conoscenze e abilità da acquisire
L’analisi finanziaria quantitativa è divenuta fondamentale per descrivere il funzionamento dei mercati finanziari. In particolare, riveste importanza tanto nei processi riguardanti le decisioni di investimento quanto nella formulazione di regolamenti per la quantificazione e gestione del rischio di intermediari finanziari. L’innovazione finanziaria implica la richiesta di studenti altamente qualificati in finanza matematica. In quest’ottica la prima parte del corso si propone di fornire agli studenti strumenti decisionali in condizioni di incertezza. In maggior dettaglio, si considera il problema di un investitore che deve effettuare scelte di portafoglio ottimali contemplando sia il rendimento che il rischio nel processo decisionale. La seconda parte si concentra su misure di rischio e requisiti patrimoniali minimi di intermediari che hanno portafogli (finanziari e crediti) già in essere. Al termine del corso lo studente dovrà essere in grado di:
• confrontare attività o portafogli rischiosi secondo il criterio dell’utilità attesa e valutarle tramite equivalenti certi;
• comprendere gli effetti della correlazione per un’efficace diversificazione del rischio misurato in termini di varianza del rendimento;
• selezionare portafogli ottimi di attività azionarie su orizzonti uniperiodali su mercati eventualmente dotati di un’attività priva di rischio;
• comprendere le relazioni rischio-rendimento atteso in condizioni di equilibrio nel Capital Asset Pricing Model;
• conoscere e maneggiare misure di rischio alternative alla varianza utilizzate nella predisposizione di regolamenti sovra-nazionali per la quantificazione dei requisiti patrimoniali di intermediari finanziari;
• calcolare le “nuove” misure di rischio di portafogli di attività azionarie, obbligazioni, posizioni in valuta e alcuni derivati.
Capacità trasversali/soft skills:
• lo studente dovrebbe acquisire le conoscenze fondamentali di portfolio management e valutazione del rischio;
• lo studente diventa consapevole dell'importanza della gestione del rischio che ha implicazioni non solo per i soggetti che per missione aziendale assumono rischi;
• gli argomenti trattati sono di primaria importanza in corsi avanzati e master di finanza quantitativa.
Programma e contenuti dell'insegnamento
PARTE I - Modelli di gestione del portafoglio
• Descrizione degli obiettivi di un investitore (privato, intermediario finanziario, gestore di portafoglio). Variabili aleatorie chiave del processo decisionale: i rendimenti azionari. Probabilità-prezzo di evento nell'impostazione definettiana. Media come prezzo di variabile aleatoria. V.a. senza prezzo: il paradosso di S. Pietroburgo. Utilità attesa ed equivalente certo. Avversione al rischio. Indicatori di avversione. Disuguaglianza di Jensen. Criteri di decisione in ambito aleatorio.
• Il problema statico dell'investitore: massimizzazione dell'utilità attesa funzione del rendimento aleatorio di portafoglio. Restrizione dell'insieme ammissibile: il criterio di Markowitz. Frontiera efficiente come vincolo di bilancio dell’investitore.
• Il problema con due sole attività rischiose: determinazione della frontiera di (minima) varianza in un mercato con due sole attività: effetto del coefficiente di correlazione sulla possibilità di diversificare il rischio senza effettuare vendite allo scoperto. I due casi a perfetta correlazione.
• Il problema con un'attività priva di rischio e una rischiosa: linearizzazione della frontiera.
• Determinazione dell'equazione della frontiera di minima varianza in un mercato con n attività azionarie, mediante l'uso di calcolo matriciale.
• Equilibrio dei mercati finanziari. La frontiera efficiente-Capital Market Line (CML). Il portafoglio di mercato. Portafogli efficienti e mercato. La Security Market Line (SML).
• Legami tra CML e SML per portafogli efficienti. Il beta di portafogli.
• L'Arbitrage Pricing Theory di Ross.
• Il modello di Roll: minimizzazione del tracking error rispetto ad un benchmark.
• La frontiera di minima varianza del tracking error (Ftev). Confronto fra frontiera classica (alla Markowitz) e Ftev.
• Modello di portafoglio dinamico: massimizzazione di utilità intertemporale separabile (cenni).
PARTE II – Valutazione del rischio finanziario
• Definizione di rischio. Principali rischi degli intermediari finanziari: rischio di mercato, di credito, operativo e giuridico. Il rischio finanziario dell'intermediario visto come investitore. Significato di "gestione del rischio". Il rischio finanziario e l'evoluzione dei mercati finanziari. Il rischio finanziario e i requisiti minimi di capitale: evoluzione del regolamento di Basilea.
• Misure classiche di rischiosità delle attività finanziarie: varianza, semivarianza, MAD, covarianza e beta per attività e portafogli azionari. La duration di obbligazioni con cedola con struttura dei tassi non piatta. La duration con struttura piatta. Interpretazione della flat yield modified duration come misura di sensibilità del prezzo dell'obbligazione rispetto a variazioni del tasso di interesse. La duration di obbligazioni di puro sconto. Le obbligazioni con cedola come combinazioni di obbligazioni di puro sconto. Variazioni del prezzo dell'obbligazione con cedola in funzione di variazioni dei tassi di interesse di struttura non piatta.
• Definizione di Value at Risk (VaR) in termini di perdita e di Profit & Loss. VaR assoluto e relativo in termini di tasso di rendimento della posizione ovvero di intensità di rendimento. VaR nel caso di normalità del rendimento della posizione. VaR di un portafoglio, con rendimento normale (approccio asset-normal). Subadditività del VaR asset-normal. Generalizzazione del VaR a posizioni con funzione di ripartizione della variazione di valore non invertibile.
• Coerenza delle misure di rischio. Proprietà delle misure di rischio coerenti.
• Il Conditional VaR (CVaR) in termini di Profit & Loss. Calcolo di CVaR con riferimento ad un portafogli crediti (perdita con distribuzione binomiale). CVaR come unica misura coerente per distribuzioni continue. Formula di CVaR con P&L distribuita normalmente.
• Metodologie di calcolo del VaR secondo l’approccio delta-normal. Posizioni in valuta estera con rendimento normale del tasso di cambio. Approssimazione lineare del rendimento di una posizione in funzione di uno o più fattori di rischio. Il caso di posizione in una azione (domestica): VaR nell'ipotesi di normalità del rendimento del mercato azionario di riferimento. Il caso di posizione in azione denominata in valuta estera: VaR con normalità (congiunta) del rendimento del mercato azionario estero e del tasso di cambio. Delta-normal VaR per obbligazioni di puro sconto e obbligazioni con cedola.
• VaR di opzione call europea standard su una azione utilizzando l’approssimazione delta-gamma-theta del prezzo ed il modello di Black e Scholes per la determinazione dei parametri (greeks). Il VaR dell'opzione in termini di percentili della distribuzione chi-quadrato.
• Posizione lunga e corta su una call: invarianza del delta-normal VaR e differenze rispetto al delta-gamma VaR.
• Il VaR di posizioni con rendimenti dotati di distribuzioni non identificabili: metodi dei momenti. Il metodo Normal-Power. Cenni sul metodo di Johnson.
• Il rischio di credito: modello unifattoriale strutturale per la valutazione del rischio di credito. Probabilità di insolvenza non condizionata. Funzione di perdita di Basilea.
Attività di apprendimento e metodi didattici previsti
I lucidi delle lezioni frontali coprono l'intero programma dell’insegnamento. Essi costituiscono solo parte del materiale che viene messo a disposizione dello studente, che consiste in una dispensa a cura del docente (disponibile nel materiale didattico) e in materiale suggerito dal docente reperibile in Internet.
Alle lezioni frontali teoriche, corredate sempre di esempi ed applicazioni, vengono affiancate esercitazioni su argomenti proposti nei temi di esame. Temi di esame con soluzione sono disponibili nel materiale didattico.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L’esame consiste in:
• esame scritto a fine corso della durata di due ore e mezza (obbligatorio);
• esame orale (obbligatorio).
L'esame orale può variare la valutazione della prova scritta da -3 a +3 punti.
Gli studenti devono mostrare conoscenza e padronanza di tutti gli argomenti trattati.
Testi / Bibliografia
Testi di riferimento:
Appunti a cura del docente.
Letture consigliate per approfondimenti:
J. Elton, J. Gruber (1995). Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, Wiley (capitoli. 2, 3, 8, 11)
K. Dowd (1998). Beyond value at risk the new science of risk management, Chichester, Wiley.
P. Jorion (2001). Value at risk. The new benchmark for controlling market risk, Chicago, Irwin.
Strumenti a supporto della didattica
I lucidi del corso, la dispensa e testi di esami (alcuni con svolgimento) si possono scaricare dal sito del “Materiale Didattico”. Per gli studenti che devono rivedere parti di Matematica Generale o Finanziaria si rimanda alle indicazioni sul materiale, reperibili nelle schede relative a tali corsi.
Tesi di laurea
I temi trattati nel corso si prestano alla stesura di tesi di laurea in Banca e Finanza con diversi livelli di difficoltà. In ogni caso, trattandosi di tesi quantitative, si richiede l’utilizzo di strumenti matematici adeguati. Inoltre, lo studente che intenda confezionare una tesi di tipo applicativo/sperimentale, dovrebbe avere la conoscenza di un linguaggio di programmazione. Infine, si consiglia l’uso di un programma che consenta di comporre la tesi in formato TeX.
Note
Nell’ambito del presente insegnamento non sussiste differenza tra il programma proposto agli studenti frequentanti e ai non frequentanti. A questi ultimi si consiglia di prendere visione del materiale a disposizione e di usufruire dei ricevimenti per chiarimenti/approfondimenti.